Polinomlar

Polinomlar
Polinomlar Örnekli anlatım

A TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, , lahza – 1, lahza birer gerçel rakam olmak üzere,
P(x) a0 + a1x + a2x2 + + lahza – 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine yan, gerçel (reel) katsayılı n dereceden polinom (çok terimli) denir

B TEMEL KAVRAMLAR
P(x) a0 + a1x + a2x2 + + lahza – 1xn – 1+anxn
almak üzere,
Ü a0, a1, a2, , lahza–1, lahza in parça başına polinomun terimlerinin katsayıları denir
Ü a0, a1x, a2x2, , an–1xn – 1, anxn in tanesine polinomun terimleri denir
Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir
Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der p(x) ile gösterilir
Ü Değişkene ast olmayan terime polinomun sabit terimi denir
Ü a0 a1 a2 an an–1 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır
Ü a0 ¹ 0 ve a1 a2 a3 an – 1 lahza 0 ise, P(x) polinomuna değişmez polinom denir Sabit polinomunun derecesi sıfırdır

Her polinom bir fonksiyondur Ama her fonksiyon polinom olmayabilir
Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır
C FAZLA DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x, y) 3xy2 – 2x2y – x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir
D POLİNOMLARDA DENKLIK
Benzer dereceli minimum iki polinomun eşdeğer dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşdeğer ise bu polinomlara eşdeğer polinomlar denir
Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir
Ü P(x) polinomunda değişmez terim P(0) dır

Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı
P(a + b) ve değişmez terimi P(b) dir
Ü P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:


Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:


E POLİNOMLARDA İŞLEMLER
1 Toplama ve Çıkarma
P(x) anxn + an – 1xn – 1 + lahza – 2xn – 2 +
Q(x) bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 +
elde etmek üzere,
P(x) + Q(x) (an + bn)xn + (lahza – 1 + bn–1)xn – 1 +
P(x) – Q(x) (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 +
olur
2 Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir
3 Bölme
der P(x) ³ der Q(x) ve Q(x) ¹ 0 elde etmek üzere,


P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur
Ü P(x) Q(x) B(x) + K(x)
Ü der K(x) der Q(x)
Ü K(x) 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür
Ü der P(x) der Q(x) + der B(x)
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine aynı biçimde yapılır
Bunun için;

1 Bölünen ve bölen polinomlar x in eksilen kuvvetlerine kadar sıralanır
2 Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun birincil terimine bölünür
3 Bulunan bu bölüm, bölen polinomun tüm terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler daha alçak alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır
4 Yer Alan netice, bölünen polinomdan çıkarılır Ayrım polinomuna da benzer işlem uygulanır
5 Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden ufak oluncaya kadar devam edilir

F KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, olağan bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz
1 Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda akıcı yerine yazılır

* P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir
* P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan


2 Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur
P(x) polinomunun a(x – b) (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,
P(x) a(x – b) (x – c) Q(x) + mx + n olur
P(b) mb + n (1)
P(c) mc + n (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin müşterek çözümünden m ve n bulunur

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi azami (n – 1) dir 3 Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur
2) Yer Alan ifade bölünen polinomda yazılır

* P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölümünden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır

4 P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+)

P(x) axn + bxm + d ise,
Pı(x) a nxn–1 + b mxm–1 + 0
Pıı(x) a n (n – 1)xn – 2 + b m(m –1) xm – 2 dir

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,
P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan
K(x) (x – a) k2 + k1 olur
G KOLAY KESİRLERE AYIRMA
a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) rakam edinmek üzere,

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur

Yer Alan bu layık eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır
Benzer işlemler B için de yapılır

H DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER
m n elde etmek üzere,
derP(x) m
derQ(x) n olsun
Buna kadar,

1 derP(x) ± Q(x) m tir
2 derP(x) Q(x) m + n dir
3 P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen birim B(x) ise, derB(x) m – n dir
4 k Î N+ için derPk(x) k m dir
5 derP(kx) m, k ¹ 0 dır *