Moduler Aritmetik Hakkında Bilgi

Moduler Aritmetik Hakkında Bilgi
Moduler Aritmetik ile ilgili dersler Moduler Aritmetik Ozellikleri Lys Moduler Aritmetik Dersleri Moduler Aritmetik Cozumu


A TANIM

Herhangi bir A kumesinden A kumesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir

A Ì B olmak uzere, A x A kumesinden B kumesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir
İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨ , *, « gibi simgelerle gosterilir

B İŞLEMİN OZELLİKLERİ

A kumesinde D ve * işlemleri tanımlanmış olsun Buna gore, aşağıdaki 7 ozelliği inceleyelim

1 Kapalılık Ozelliği

a, b Î A icin aDb nin sonucu A kumesinin bir elemanı ise, A kumesi Dişlemine gore kapalıdır

2 Değişme Ozelliği

a, b Î A icin, aD b bD a ise, Dişleminin değişme ozelliği vardır

3 Birleşme Ozelliği

a, b, c Î A icin aD (bD c) (Da b) Dc ise,D işleminin birleşme ozelliği vardır

4 Birim (Etkisiz) Eleman Ozelliği

x Î A icin, xD e e Dx x ise, e ye Dişleminin etkisiz elemanı denir

e Î A ise,D işlemine gore A kumesi birim eleman ozelliğine sahiptir

5 Ters Eleman Ozelliği

Dişleminin etkisiz elemanı e olsun

a Î A icin, aD b bD a e olacak bicimde bir b varsa b elemanına işlemine gore a nın tersi denir

a nın tersi b ise genellikle b a–1 biciminde gosterilir

b Î A ise,D xişlemine gore A kumesi ters eleman ozelliğine sahiptir

* Birim elemanın tersi kendisine eşittir
* Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir



6 Dağılma Ozelliği

a, b, c Î A icin,

a * (bD c) (a * b)D(a* c) ise,

* işlemininDişlemi uzerinde soldan dağılma ozelliği vardır

(aD b) * c (a * c)D(b * c) ise,

* işleminin işlemi uzerinde sağdan dağılma ozelliği vardır
* işleminin D işlemi uzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma ozelliği varsa * işleminin D işlemi uzerinde dağılma ozelliği vardır



7 Yutan Eleman Ozelliği

x Î A icin, xDi y yDx y olacak bicimde bir y varsa y ye Diişleminin yutan elemanı denir

y Î A ise,D işlemine gore A kumesi yutan eleman ozelliğine sahiptir

Yutan elemanın tersi yoktur Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir

C TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A kumesinde *¶ işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun



imagesmoduleraritmetikhakkindabilgi5b0369989c179




U b * c nin sonucu bulunurken, başlangıc sutununda b, başlangıc satırında c bulunur Bunların kesiştiği bolgedeki eleman, b *c nin sonucudur Buna gore, b * c a dır

U Başlangıc satırındaki ve başlangıc sutunundaki elemanların sonuclarının gorulduğu kısımda A kumesine ait olmayan eleman yoksa A kumesi * işlemine gore kapalıdır

U Sonuclar kısmı, koşegene gore simetrik ise, * işleminin değişme ozelliği vardır

U Tablonun sonuclar kısmında başlangıc sutununun ve başlangıc satırının gorulduğu sutunun ve satırın kesişimin deki eleman etkisiz elemandır

U Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuc kendisine eşit olur Bunun icin, tablonun sonuclar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sutun belirlenir Bulunan yutan elemandır



D
MATEMATİK SİSTEMLER



1 Tanım

A, boş olmayan bir kume olmak uzere, * işlemi A da tanımlı olsun

(A, *) ikilisine matematik sistem denir

2 Grup

A ¹ Æ olmak uzere, A kumesinde tanımlı * işlemi aşağıdaki dort koşulu sağlıyorsa, A kumesi* işlemine gore bir gruptur

1 A, * işlemine gore kapalıdır
2 A uzerinde * işleminin birleşme ozelliği vardır
3 A uzerinde * işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır
4 A uzerinde *işlemine gore her elemanın tersi vardır

A uzerinde tanımlı * işleminin değişme ozelliği de varsa (A,*) sistemi değişmeli gruptur

3 Halka

A ¹ Æ olmak uzere, A kumesi uzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki uc koşulu sağlıyorsa (A, D, *) sistemi bir halkadır

1 (A, D) sistemi değişmeli gruptur
2 A kumesi*işlemine gore kapalıdır
3 *işleminin D işlemi uzerinde dağılma ozelliği vardır

U * işleminin değişme ozelliği de varsa (A, D, *) sistemi değişmeli halkadır

U * işleminin A kumesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, *) sistemine birim halka denir