Altın oran

Altın oran, doğada sayısız canlının ve cansızın şeklinde ve yapısında bulunan orandır Bir dikdörtgenin boyunun enine olan en estetikoranı diye de tanımlandığı olmuştur

Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır Göze çok hoş gelen bir orandır


Altın Oran; CB AC AB CB 1618; bu oranın değeri her ölçü için 1618 dirBir doğru parçasının (AB) Altın Oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, büyük parçanın (CB) bütün doğruya (AB)oranına eşit olsun

Altın Oran, pi (?) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1618033988749894 dür (noktadan sonraki ilk 15 basamak) Bu oranın kısaca gösterimi: 1 + sqr(5)2 olur sqr (5), beşin karekökünü göstermektedir

Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, PHI yani ? 'dir

Konu başlıkları gizle
1 Tarihçe
2 Fibonacci Sayıları ve Altın Oran
3 Altın Oran'ın Elde Edilmesi
4 Beş Kenarlı Simetri
5 Büyük Piramit ve Altın Oran
6 Dış bağlantılar



değiştir Tarihçe
Altın Oran, matematikte ve fiziksel evrende ezelden beri var olmasına rağmen, insanlar tarafından ne zaman keşfedildiğine ve kullanılmaya başlandığına dair kesin bir bilgi mevcut değildir Tarih boyunca birçok defa yeniden keşfedilmiş olma olasılığı kuvvetlidir

Euclid (MÖ 365 – MÖ 300), Elementleradlı tezinde, bir doğruyu 06180399 noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu, bir doğruyu ekstrem ve önemli oranda bölmek diye adlandırmıştır Mısırlılar Keops Piramidi'nin tasarımında hem pi hem de phi oranını kullanmışlardır Yunanlılar, Parthenon'un tüm tasarımını Altın Oran'a dayandırmışlardır Bu oran, ünlü Yunanlı heykeltraş Phidias tarafından da kullanılmıştır Leonardo Fibonacci adındaki İtalyan matematikçi, adıyla anılan nümerik serinin olağanüstü özelliklerini keşfetmiştir fakat bunun Altın Oran ile ilişkisini kavrayıp kavramadığı bilinmemektedir Leonardo da Vinci, 1509'da Luca Pacioli'nin yayımladığı İlahi Oran adlı bir çalışmasına resimler vermiştir Bu kitapta Leonardo Leonardo da Vinci tarafından yapılmış Five Platonic Solids (Beş Platonik Cisim) adlı resimler bulunmaktadır Bunlar, bir küp, bir Tetrahedron, bir Dodekahedron, bir Oktahedron ve bir Ikosahedronun resimleridir Altın Oran'ın Latince karşılığını ilk kullanan muhtemelen Leonardo da Vinci 'dir Rönesans sanatçıları Altın Oran'ı tablolarında ve heykellerinde denge ve güzelliği elde etmek amacıyla sıklıkla kullanmışlardır Örneğin Leonardo da Vinci, Son Yemek adlı tablosunda, İsa'nın ve havarilerin oturduğu masanın boyutlarından, arkadaki duvar ve pencerelere kadar Altın Oran'ı uygulamıştır Güneş etrafındaki gezegenlerin yörüngelerinin eliptik yapısını keşfeden Johannes Kepler (15711630), Altın Oran'ı şu şekilde belirtmiştir: Geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri Pythagoras'ın teoremi, diğeri, bir doğrunun Altın Oran'a göre bölünmesidirBu oranı göstermek için, Parthenon'un mimarı ve bu oranı resmen kullandığı bilinen ilk kişi olan Phidias'a ithafen, 1900'lerde Yunan alfabesindeki Phi harfini Amerika'lı matematikçi Mark Barr kullanmıştır Aynı zamanda Yunan alfabesindekine karşılık gelen F harfi de, Fibonacci'nin ilk harfidir

Altın Oran, bir sayının insanlık, bilim ve sanat tarihinde oynadığı inanılmaz bir roldür Phi, evren ve yaşamı anlama konusunda bizlere yeni kapılar açmaya devam etmektedir 1970'lerde Roger Penrose, o güne kadar imkansız olduğu düşünülen, yüzeylerin beşli simetri ile katlanmasını Altın Oran sayesinde bulmuştur

Bu oranın Altın Oran diye adlandırılması, daha derin güzellik anlayışlarına yeni kapılar açtığından dolayı belkide doğru bir karar olmuştur


değiştir Fibonacci Sayıları ve Altın Oran
Fibonacci sayıları (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 şeklinde devam eder) ile Altın Oran arasında ilginç bir ilişki vardır Dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran'a yaklaşır

Fibonacci ardışıkları, Altın Oran ilişkisi yorumlamasıdır Bir çok bitki filizlendiğinde, önce bir adet yaprak verir Bir süre sonra bir yaprak daha açar, sonra iki tane daha Sonra üç, beş, sekiz, onüç, yirmibir, otuzdört, vs Pek çok bitki büyüme prensibi olarak kendisine Fibonacci ardışığını seçmiştir




Yine birçok bitki, dallanma sırasında Fibonacci sayılarını izler:

Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki, yapraklar hiç bir yaprak alttakini kapatmayacak şekilde dizilmiştir Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığını eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor

Bir bitkinin sapındaki yapraklarında, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacci sayıları bulursunuz Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya ya da yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır




Mesela, yandaki resminin üst kısmındaki dalı incelersek, başlangıç noktası olarak 1 numaralı yaprağı alırsak, kendisiyle aynı yönde bir başka yaprakla karşılaşabilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız Eğer bu dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönüş gerekecektir Ve 2, 3, 5 ardışık Fibonacci sayılarıdır

Resmin alt kısımında yer alan dalı incelediğimizde ise 8 yaprak üstünden geçtiğimiz 5 tane saat yönünde dönüş yaparız Saat yönünün ters istikametinde ise bu dönüş sayısı 3 olacaktır

3, 5, 8 ise ardışık Fibonacci sayılarıdır Ardışık Fibonacci sayılarının birbirine oranı altın orana yaklaştığından bahsetmiştik Demek oluyor ki bitkinin yapraklarının bulunduğu yerlerde bile Altın Oran görülür


değiştir Altın Oran'ın Elde Edilmesi
Altın Oran'ı anlatmanın en iyi yollarından biri, işe bir kare ile başlamaktır



Bir kareyi tam ortasından iki eşit diktörgen oluşturacak şekilde ikiye bölelim



Dikdörtgenlerin ortak kenarının, karenin tabanını kestiği noktaya pergelimizi koyalım Pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun



Sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım



Yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız



İşte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğunun (B) karenin taban uzunluğuna (A) oranı Altın Oran'dır Karenin taban uzunluğunun (A) büyük dikdörtgenin taban uzunluğuna (C) oranı da Altın Oran'dır A B 16180339 Altın Oran C A 16180339 Altın Oran



Elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir Altın Dikdörtgen'dir Çünkü kısa kenarının, uzun kenarına oranı 1618 dir, yani Altın Oran'dır



Artık bu dikdörtgenden her bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, bir Altın Dikdörtgen olacaktır



İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu Altın Dikdörtgen'in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir Altın Spiral elde ederiz Altın Spiral, birçok canlı ve cansız varlığın biçimini ve yapı taşını oluştururBuna örnek olarak Ayçiçeği bitkisini gösterebiliriz Ayçiçeğinin çekirdekleri altın oranı takip eden bir spiral oluşturacak şekilde dizilirler

Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir




değiştir Beş Kenarlı Simetri
Phi'yi göstermenin bir yolu da, basit bir beşgen kullanmaktır Yani, birbiriyle beş eşit açı oluşturarak birleşen beş kenar Basitçe Phi, herhangi bir köşegenin herhangi bir kenara oranıdır


AC AB 1,618 PHI
Beşgenin içine ikinci bir köşegen (BD) çizelim AC ve BD birbirlerini O noktasında keseceklerdir

Böylece her iki çizgi de, bir noktadan ikiye bölünmüş olacaktır ve her parça diğeriyle Phi oranı ilişkisi içindedir Yani AO OC Phi, AC AO Phi, DO OB Phi, BD DO Phi Bir diğeri ile bölünen her köşegende, aynı oran tekrarlanacaktır

Bütün köşegenleri çizdiğimiz zaman ise, beş köşeli bir yıldız elde ederiz

Bu yıldızın içinde, ters duran diğer bir beşgen meydana gelir (yeşil) Her köşegen, başka iki köşegen tarafından kesilmiştir ve her bölüm, daha büyük bölümlerle ve bütünle, Phi oranını korur Böylece, içteki ters beşgen, dıştaki beşgenle de Phi oranındadır


Bir beşgenin içindeki beş köşeli yıldız, Pentagram diye adlandırılır ve Pythagoras'ın kurduğu antik Yunan Matematik Okulu'nun sembolüdür Eski gizemciler Phi'yi bilirlerdi ve Altın Oran'ın fiziksel ve biyolojik dünyamızın kurulmasındaki önemli yerini anlamışlardı

Bir beşgenin köşegenlerini birleştirdiğimizde, iki değişik Altın Üçgen elde ederiz Mavi üçgenin kenarları tabanı ile ve kırmızı üçgenin tabanı da kenarı ile Altın Oran ilişkisi içerisindedir


Phi, kendini tekrarlayan bir özelliğe de sahiptir Altın Orana sahip her şekil, Altın Oranı kendi içinde sonsuz sayıda tekrarlayabilir Aşağıdaki şekilde, her beşgenin içinde meydana gelen pentagramı ve her pentagramın oluşturduğu beşgeni ve bunun makro kozmik ve mikro kozmik sonsuza kadar Altın Oranı tekrarlayarak devam ettiğini görebiliriz


Beşgen, Altın Oranı açıklamak için oldukça basit ve iyi bir yöntem olmakla birlikte, bu oranın belirtilmesi gereken çok daha karmaşık ve anlaşılması zor bir takım özellikleri de vardır Altın Oran daha iyi anlaşıldıkça, biyolojik ve kozmolojik birçok büyük uygulama örnekleri daha iyi görülebilecektir


değiştir Büyük Piramit ve Altın Oran
Yandaki diagram, Altın Oran'ın bir çember yarıçapı üzerinde nasıl bulunabileceğini gösterir Kenar uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan FCGO karesinin FC kenarının orta noktası olan T'den GO kenarının orta noktası olan A'ya dik çizilen bir çizgi ile ikiye bölünmesinden elde edilen TCAO dikdörtgeninin açıortayını (AC) bir ikizkenar üçgenin kenarlarından biri olarak kabul edip ABC üçgenini oluşturursak, üçgenin yüksekliğini 1 kabul ettiğimizde (ki bu dairenin yarıçapıdır) COB üçgeninin OB kenarı, Altın Oran olan 0618034 olur

Bir trigonometrik cetvelden baktığımızda, OCB açısının 3143' ve dolayısıyla OBC açısınında 5817' olduğunu buluruz Yukarıdaki diyagram önemini korumak şartıyla bizi başka bir konstrüksiyona götürür ki, bu belki de Mısır'lı rahiplerce çok daha önemli bulunmuş olabilir

Yandaki diagramda, üçgenin dik açıya ortak kenarlarından biri yine yarıçapın 0618034'üdür fakat bu defa 1'e yani yarıçapa eşit olan komşu kenar değil, hipotenüstür Yine bir trigonometrik tablo yardımıyla, 0618034'ün karşı açısının 3810' ve diğer açının da 5150' olduğunu görürüz Pisagor Teoremini kullanarak, OD kenarının uzunluğunun da yarıçapın 078615'i olduğu görülür

Bu konstrüksiyonda onu özel yapan iki önemli nokta vardır Birincisi; ED kenarının uzunluğu (0618034) OD kenarının uzunluğuna (078615) bölünürse sonuç OD kenarının uzunluğuna (078615) eşit çıkmaktadır Trigonometrik ilişkiler açısından bu şu anlama gelmektedir: 3810' un tanjantı (karşı kenar ÷ komşu kenar), 3810' un cosinüsüne (komşu kenar ÷ hipotenüs) eşittir Tersi, 5150' nin kotanjantı, 5150' nin sinüsüne eşittir

İkinci ve belki en önemli husus: OD kenar uzunluğu (078615) 4 ile çarpıldığında 31446 yı verir ki bu, hemen hemen Pi'ye (31416) eşittir Bu buluş, 3810' açıya sahip bir dik üçgenin Pi oranı ile Altın Oran fenomeninin çok özel ve ilginç bir kesişimini kapsadığını ortaya koymaktadır

Kadim Mısır Krallığı döneminin rahipleri bu üçgenin özelliklerinden haberdar mıydılar? Bu diagram Büyük Piramit'in dış hatlarını göstermektedir Bilinçli olarak ya da değil, bu piramit 3810' lık bir üçgeni ihtiva edecek biçimde inşa edilmiştir Yüzeyinin eğimi, çok kesin bir şekilde yerle 5150' lık açı yapmaktadır Bu piramit kesitini bir önceki ile kıyaslarsak, BC uzunluğunun yarıçapın 0618034'ü olduğunu, AB uzunluğunun 078615 olduğunu ve AC uzunluğunun 1 yani yarıçap olduğunu görebiliriz

Keops Piramidi'nin gerçek ölçüleri şöyledir (feet ölçüsünden metreye çevrilmiştir): AB 1466088m BC 1151839m AC 1863852m)

Bu noktadan itibaren işler biraz karmaşık ama çok çok ilginç bir hale gelmektedir

Görüleceği gibi, BC uzunluğu, piramitin kenar uzunluğunun yarısıdır Bu nedenle piramitin çevresinin uzunluğu BC x 8 dir Yani piramitin relatif çevresi 0618034 x 8 49443 dür Yine piramitin relatif yüksekliği 078615 in bir çemberin yarıçapı olduğu farzedilirse bu çemberin uzunluğu (çevresi) yine 49443 olacaktır

Bu beklenmedik uyum şu şekilde gerçekleşmektedir:

1)3810'lık üçgene gore 0618034 ÷ 078615 078615 dir (yukarıda bahsedilmişti) Demek ki, 8 x 0618034 olarak belirlenen piramit çevresi 8 x 078618 x 078615 şeklinde de gösterilebilir

2)Yine yukarıda, 4 x 078615 in Pi ( ) ye çok yakın bir değer verdiğini söylemiştik Demek ki 2 nin de 8 x 078615 e çok yakın bir değer olduğu görülür Böylelikle, yarıçapı 078615 olan bir dairenin çevresi şu şekilde ifade edilebilir: C 2 r (8 x 078615) x 078615

Bundan şu sonuç çıkmaktadır: Büyük Piramit, yatay bir düzlem üzerinden ölçüm yapıldığında sahip olduğu kare şeklindeki çevre uzunluğunun aynına, düşey bir düzlem üzerinde yapılan ölçümde de bu defa daire şeklinde olmak üzere sahiptir

Birkaç ilginç bilgi olmak kaydıyla şu gerçeklere de kısaca bir göz atalım: Keops Piramidi'nin gerçek taban kenar uzunluğunun (2303465m) 8 katı ya da çevre uzunluğunun iki katı, boylamlar arasındaki 1 dakikalık açının ekvatordaki uzunluğunu vermektedir Piramitin kenar uzunluğunun, ekvatordaki 1 dakikalık mesafenin 18 ine eşit olması ve piramit yüksekliğinin 2 nin 18 ine eşit olması korelasyonunu irdelememiz, örneklemeyi evrensel boyutlara taşıdığımızda, dünya ile evrenin Pi ve Altın Oran sabitlerinin ilişkilerini algılamada küçük bir girişim, samimi bir başlangıç sayılabilir

Şunu akılda tutmak gerekir ki; piramitin kenar uzunluğunun 2303465m olması tamamen tesadüf de olabilir Fakat karşılıklı ilişkiler yenilerini doğuruyor ve bunlara yenileri ekleniyorsa, bu korelasyonların kasti düzenlenmiş olduğu ihtimali de ciddi olarak dikkate alınmalıdır